Как сохранить данные с произвольного поля в настройках и позже вывести данные на сайте?

Для сохранения своего поля на странице настроек WordPress лучше использовать Settings API. Он сам обрабатывает регистрацию option, nonce и сохранение через стандартную страницу options.php. В Вашем примере поле выводится, но у него нет name, нет формы, нет регистрации настройки и нет обработчика сохранения.

Минимальный рабочий вариант:

add_action('admin_menu', function () {
    add_submenu_page(
        'options-general.php',
        'Site Options',
        'Site Options',
        'manage_options',
        'site_options',
        'my_custom_submenu_page_callback'
    );
});
 
add_action('admin_init', function () {
    register_setting('site_options_group', 'site_copyright', [
        'type'              => 'string',
        'sanitize_callback' => 'sanitize_text_field',
        'default'           => '',
    ]);
});
 
function my_custom_submenu_page_callback() {
    ?>
    <div class="wrap">
        <h1>Site Options</h1>
        <form method="post" action="options.php">
            <?php settings_fields('site_options_group'); ?>
            <p>
                <label>Copyright</label><br>
                <input type="text" name="site_copyright"
                       value="<?php echo esc_attr(get_option('site_copyright')); ?>">
            </p>
            <?php submit_button(); ?>
        </form>
    </div>
    <?php
}

Вывод на сайте:

echo esc_html(get_option('site_copyright'));

ACF Options Page тоже нормальное решение, если ACF уже используется. Но если нужно одно-два поля без зависимости от ACF, Settings API легче и надёжнее.

Если поле должно содержать HTML, не используйте sanitize_text_field, иначе теги будут очищены. Для ограниченного HTML применяйте wp_kses_post, а для URL — esc_url_raw при сохранении и esc_url при выводе. Тип sanitization должен соответствовать типу данных.

ACF Options Page удобен тем, что даёт визуальные поля, повторители и загрузку изображений без ручного Settings API. Но если это публичный плагин или небольшая настройка темы, лучше не создавать зависимость от ACF ради одного copyright-поля.

После сохранения проверьте значение напрямую: get_option('site_copyright'). Если оно пустое, значит не совпадает имя option, group в settings_fields() или у input отсутствует правильный name.