Существует ли способ изменять переменную в запросе?

В SQL нельзя нормально “изменять переменную в запросе” в процедурном смысле, как в цикле обычного языка программирования. Запрос должен описывать набор данных, а не пошагово менять счётчик. Если в рекурсивном запросе появляются копии ветвей, обычно решают это не переменной, а правильной моделью пути, уровней и дедупликации.

Для дерева в PostgreSQL стандартный подход такой: в recursive CTE хранить id текущего узла, parent_id, depth и path. Path позволяет понять, где вы уже были, и не уйти в цикл или дубль.

WITH RECURSIVE tree AS (
    SELECT
        id,
        parent_id,
        name,
        1 AS depth,
        ARRAY[id] AS path
    FROM items
    WHERE id = 10
 
    UNION ALL
 
    SELECT
        i.id,
        i.parent_id,
        i.name,
        t.depth + 1,
        t.path || i.id
    FROM items i
    JOIN tree t ON i.parent_id = t.id
    WHERE NOT i.id = ANY(t.path)
)
SELECT *
FROM tree;

Если нужно присвоить уникальный индекс строкам результата, используйте оконную функцию уже после построения дерева:

SELECT
    ROW_NUMBER() OVER (ORDER BY path) AS row_index,
    *
FROM tree;

Если нужно убрать дубли ветвей, смотрите, по какому ключу они считаются дублями. Иногда достаточно DISTINCT ON:

SELECT DISTINCT ON (id) *
FROM tree
ORDER BY id, depth;

Переменная вида set _index = _index + 1 внутри SELECT - это не SQL-подход. Если нужна сложная процедурная логика, её выносят в PL/pgSQL функцию. Но для дерева чаще хватает recursive CTE, массива path, depth и row_number. Это будет надёжнее, быстрее и понятнее, чем пытаться имитировать глобальный счётчик внутри рекурсии.